Фізика 11 клас (Остапенко Т.М.)

     Математичний маятник

Математичним маятником називають тіло невеликих розмірів, підвішене на тонкій нерозтяжній нитці, масою якої можна знехтувати, тобто вона мала  в порівнянні з масою тіла.

У положенні рівноваги, коли маятник висить нерухомо, сила тяжіння  врівноважується силою  натягу нитки.   При відхиленні маятника з положення рівноваги на деякий кут φ з'являється дотична складова сили тяжіння

F_τ = –mg sinφ . Знак «мінус» в цій формулі означає, що дотична складова направлена в бік, протилежний відхиленню маятника.

Якщо позначити через x лінійне зміщення маятника від положення рівноваги по дузі кола радіуса  l , то його кутове зміщення буде рівне φ = x / l. Другий закон Ньютона, записаний для проекцій векторів прискорення і сили на напрям дотичній, дає: 
 

Тільки в разі малих коливань, коли приблизно   кут відхилення ( в радіанах)  можна замінити на   його сінус, математичний маятник є гармонійним осцилятором,  тобто системою, здатною здійснювати гармонійні коливання.Практично таке наближення справедливе для кутів порядку 15–20°; при цьому величина кута  відрізняється від  його сінуса не більше ніж на 2 %.  

Коливання маятника при великих амплітудах не є гармонійними.

І розв'язками цього рівняння  будуть функції

x = xm cos (ω0t + φ0) x = xm sin (ω0t + φ0)

Отримані функціїї є розв'язком основної задачі механіки для коливань математичного маятника. Координата змінюється по гармонійному (sin, cos) закону.  Хm  є максимальне значення координати, тобто максималне відхилення від положення рівноваги (амплітуда) Поточне значення координати залежить від велечини, що знаходиться під знаком сінуса або косінуса. Ця величина повинна мати зміст кута (цікаво - якого?),  пропорційна часу, що пройшов з початку коливань і називається фазою.Саме фаза визначає стан коливальної системи в даний момент часу. Період коливань математичного маятника T = 2π√l /g.