Фізика 10 клас (Остапенко Т.М.)

АТЕМАТИЧНИЙ АПАРАТ ФІЗИКИ.

ЕЛЕМЕНТИ ВЕКТОРНОЇ АЛГЕБРИ

Багато фізичних величин повністю визначаються лише своїм числовим значенням (об'єм, густина, маса) - такі величини називаються скалярними. Але є й такі величини, які крім числового значення мають характеризуються ще й напрямом (швидкість, сила, напруженість) - такі величини називають векторними.

Будь-яка упорядкована пара точок А і В простору визначає напрямлений відрізок або вектор, тобто відрізок, який має певну довжину і напрям. Термін «вектор» (від лат vector - той, що переносить) ввів у 1848 р. Гамільтон. Першу точку А називають початком вектора, а другу точку В - кінцем вектора. За напрям вектора приймають напрям від початку вектора до його кінця.

Якщо вектор визначений у координатній площині, то довжину вектора можна знайти як відстань між двома точками: якщо (х₁, y₁) координати початку вектора, а (х₂, y₂) - координати кінця, то довжина вектора дорівнює .

Вектор, довжина якого дорівнює одиниці, називається одиничним. Одиничний вектор, напрям якого збігається з напрямом вектора , називається ортом вектора  і позн. .

Вектор, початок якого збігається з кінцем (тобто довжина якого дорівнює нулю), називається нульовим і його напрям є невизначеним.

Два вектори  та  називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих. Якщо напрями колінеарних векторів збігаються, то такі вектори називаються колінеарними співнапрямленими і позначаються . Якщо напрями колінеарних векторів протилежні, то вони називаються колінеарними протилежнонапрямленими .   Нульовий вектор вважається колінеарним буд-якому вектору.

Два вектори  та  називаються рівними, якщо вони колінеарні співнапрямлені і мають рівні довжини і це позначається =.

В означенні рівності векторів не йдеться про якесь їх особливе взаємне розташування, тому, не порушуючи рівності, вектори можна переносити в просторі паралельно самих собі. У зв'язку з цим вектори в аналітичні геометрії називаються вільними. Однак у фізиці вільність векторів обмежується, наприклад, у випадку, коли тіло не знаходиться в стані спокою, вектор сили неможна переміщувати, оскільки від точки прикладання сили залежить результат її дії.

Дії (лінійні) над векторами.

В 8-му класі ми з вами розглядали додавання, віднімання колінеарних векторів і множення вектора на скаляр. Сьогодні ми розглянемо ці ж дії над векторами, але вже не для вузького класу колінеарних векторів, а в загальному випадку.

1)Множення вектора на скаляр. Нехай задані вектор  і число . Добутком називається вектор, довжина якого дорівнює , а напрям збігається з напрямом, якщо >0 і протилежний , якщо <0.

2)Додавання векторів.

3)Віднімання векторів

Віднімання векторі є діє обернена додаванню. Різницею векторів ( -) називають вектор , який потрібно додати до , щоб отримати . Віднімання векторів ( -) теж може здійснюватись за двома алгоритмами:

Проекція вектора на вісь

Віссю називається напрямлена пряма. Напрям прямої позначають стрілкою. Заданий на осі напрям вважають додатним, а протилежний йому - від'ємним.

Проекцією точки А на вісь х називається основа А₁ перпендикуляра А А₁, опущеного з точки А на дану вісь. Таким чином проекція А₁ є точкою перетину осі х з площиною, яка проходить через точку А, перпендикулярно до осі х.

Проекцією вектора   на вісь ОХ називають відстань між проекцією початку А₁ і проекцією кінця В₁  вектора на задану вісь.

Якщо відомий кут між вектором і віссю, то проекцію можна знайти як добуток довжини вектора на косинус кута між вектором і віссю:

Властивість проекції векторів:

ØЯкщо деяка лінійна операція справедлива для векторів  і  (наприклад, сума ), то вона справедлива і для їх проекцій на довільну, але одну і ту ж, вісь (тобто, якщо , то для осі ОХ: ; для осі ОY:  і т.д.)