Математичний апарат фізики. Основи векторної графіки

АТЕМАТИЧНИЙ АПАРАТ ФІЗИКИ.

ЕЛЕМЕНТИ ВЕКТОРНОЇ АЛГЕБРИ

 

Багато фізичних величин повністю визначаються лише своїм числовим значенням (об'єм, густина, маса) - такі величини називаються скалярними. Але є й такі величини, які крім числового значення мають характеризуються ще й напрямом (швидкість, сила, напруженість) - такі величини називають векторними.

Будь-яка упорядкована пара точок А і В простору визначає напрямлений відрізок або вектор, тобто відрізок, який має певну довжину і напрям. Термін «вектор» (від лат vector - той, що переносить) ввів у 1848 р. Гамільтон. Першу точку А називають початком вектора, а другу точку В - кінцем вектора. За напрям вектора приймають напрям від початку вектора до його кінця.

Вектор, початок якого знаходиться в точці А, а кінець  в точці В, позначають на точками його початку і кінця - АВ або маленькими латинськими літерами, наприклад, . Напрям вектора на рисунку показують стрілкою (рис 1). Відстань між початком і кінцем вектора називається довжиною (або модулем) вектора і позначається  або просто .

рис 1

Якщо вектор визначений у координатній площині, то довжину вектора можна знайти як відстань між двома точками: якщо (х1, y1) координати початку вектора, а (х2, y2) - координати кінця, то довжина вектора дорівнює .

Вектор, довжина якого дорівнює одиниці, називається одиничним. Одиничний вектор, напрям якого збігається з напрямом вектора , називається ортом вектора  і позн. .

Вектор, початок якого збігається з кінцем (тобто довжина якого дорівнює нулю), називається нульовим і його напрям є невизначеним.

Два вектори  та  називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих. Якщо напрями колінеарних векторів збігаються, то такі вектори називаються колінеарними співнапрямленими і позначаються . Якщо напрями колінеарних векторів протилежні, то вони називаються колінеарними протилежнонапрямленими .   Нульовий вектор вважається колінеарним буд-якому вектору.

Два вектори  та  називаються рівними, якщо вони колінеарні співнапрямлені і мають рівні довжини і це позначається =.

В означенні рівності векторів не йдеться про якесь їх особливе взаємне розташування, тому, не порушуючи рівності, вектори можна переносити в просторі паралельно самих собі. У зв'язку з цим вектори в аналітичні геометрії називаються вільними. Однак у фізиці вільність векторів обмежується, наприклад, у випадку, коли тіло не знаходиться в стані спокою, вектор сили неможна переміщувати, оскільки від точки прикладання сили залежить результат її дії.

Дії (лінійні) над векторами.

В 8-му класі ми з вами розглядали додавання, віднімання колінеарних векторів і множення вектора на скаляр. Сьогодні ми розглянемо ці ж дії над векторами, але вже не для вузького класу колінеарних векторів, а в загальному випадку.

1)Множення вектора на скаляр. Нехай задані вектор  і число . Добутком називається вектор, довжина якого дорівнює , а напрям збігається з напрямом, якщо >0 і протилежний , якщо <0.

2)Додавання векторів.

Припустимо, ми маємо два довільних вектори  та . Тоді ці вектори можна додавати, використовуючи правило трикутника або правило паралелограма.

 

Правило трикутника

Правило паралелограма

Сумою (+) двох векторів  і  є такий вектор , напрямлений з початку вектора  в кінець вектора  за умови, що початок вектора  збігається з кінцем вектора .

Сумою (+) двох векторів  і  є такий вектор , напрямлений з початку векторів  і  вздовж діагоналі паралелограма, сторони якого утворені з векторів  і  їх паралельним переносом за умови, що початки векторів  та  збігаються.

3)Віднімання векторів

Віднімання векторі є діє обернена додаванню. Різницею векторів ( -) називають вектор , який потрібно додати до , щоб отримати . Віднімання векторів ( -) теж може здійснюватись за двома алгоритмами:

Правило віднімання 1

Правило віднімання 2

Різницею (-) двох векторів  і  є такий вектор , напрямлений з кінця вектора   в кінець вектора  за умови, що початки векторів  і  збігаються.

Щоб знайти різницю векторів (-) потрібно дію віднімання розкласти на дві: множення на число та додавання: тобто

(-)=(+(-))

Проекція вектора на вісь

Віссю називається напрямлена пряма. Напрям прямої позначають стрілкою. Заданий на осі напрям вважають додатним, а протилежний йому - від'ємним.

Проекцією точки А на вісь х називається основа А1 перпендикуляра А А1, опущеного з точки А на дану вісь. Таким чином проекція А1 є точкою перетину осі х з площиною, яка проходить через точку А, перпендикулярно до осі х.

Проекцією вектора   на вісь ОХ називають відстань між проекцією початку А1 і проекцією кінця В1  вектора на задану вісь.

Проекція вважається додатною, якщо вектор і вісь напрямлені в одну сторону

Проекція вважається від'ємною, якщо вектор і вісь напрямлені в протилежні сторони

Якщо вектор паралельний до осі або повністю лежить на осі, то довжина проекції вектора дорівнює довжині самого вектора

Якщо вектор перпендикулярний до осі, то його проекція на цю вісь дорівнює нулю

Якщо відомий кут між вектором і віссю, то проекцію можна знайти як добуток довжини вектора на косинус кута між вектором і віссю:

Якщо вісь одна

Якщо є дві осі

Властивість проекції векторів:

ØЯкщо деяка лінійна операція справедлива для векторів  і  (наприклад, сума ), то вона справедлива і для їх проекцій на довільну, але одну і ту ж, вісь (тобто, якщо , то для осі ОХ: ; для осі ОY:  і т.д.)

Остання версія: 15 червень 2015, понеділок, 14:06