Математичний апарат фізики. Основи векторної графіки
АТЕМАТИЧНИЙ АПАРАТ ФІЗИКИ.
ЕЛЕМЕНТИ ВЕКТОРНОЇ АЛГЕБРИ
Багато фізичних величин повністю визначаються лише своїм числовим значенням (об'єм, густина, маса) - такі величини називаються скалярними. Але є й такі величини, які крім числового значення мають характеризуються ще й напрямом (швидкість, сила, напруженість) - такі величини називають векторними.
Будь-яка упорядкована пара точок А і В простору визначає напрямлений відрізок або вектор, тобто відрізок, який має певну довжину і напрям. Термін «вектор» (від лат vector - той, що переносить) ввів у 1848 р. Гамільтон. Першу точку А називають початком вектора, а другу точку В - кінцем вектора. За напрям вектора приймають напрям від початку вектора до його кінця.
Вектор, початок якого знаходиться в точці А, а кінець в точці В, позначають на точками його початку і кінця - АВ або маленькими латинськими літерами, наприклад, . Напрям вектора на рисунку показують стрілкою (рис 1). Відстань між початком і кінцем вектора називається довжиною (або модулем) вектора і позначається або просто . | рис 1 |
Якщо вектор визначений у координатній площині, то довжину вектора можна знайти як відстань між двома точками: якщо (х1, y1) координати початку вектора, а (х2, y2) - координати кінця, то довжина вектора дорівнює .
Вектор, довжина якого дорівнює одиниці, називається одиничним. Одиничний вектор, напрям якого збігається з напрямом вектора , називається ортом вектора і позн. .
Вектор, початок якого збігається з кінцем (тобто довжина якого дорівнює нулю), називається нульовим і його напрям є невизначеним.
Два вектори та називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих. Якщо напрями колінеарних векторів збігаються, то такі вектори називаються колінеарними співнапрямленими і позначаються . Якщо напрями колінеарних векторів протилежні, то вони називаються колінеарними протилежнонапрямленими . Нульовий вектор вважається колінеарним буд-якому вектору.
Два вектори та називаються рівними, якщо вони колінеарні співнапрямлені і мають рівні довжини і це позначається =.
В означенні рівності векторів не йдеться про якесь їх особливе взаємне розташування, тому, не порушуючи рівності, вектори можна переносити в просторі паралельно самих собі. У зв'язку з цим вектори в аналітичні геометрії називаються вільними. Однак у фізиці вільність векторів обмежується, наприклад, у випадку, коли тіло не знаходиться в стані спокою, вектор сили неможна переміщувати, оскільки від точки прикладання сили залежить результат її дії.
Дії (лінійні) над векторами.
В 8-му класі ми з вами розглядали додавання, віднімання колінеарних векторів і множення вектора на скаляр. Сьогодні ми розглянемо ці ж дії над векторами, але вже не для вузького класу колінеарних векторів, а в загальному випадку.
1)Множення вектора на скаляр. Нехай задані вектор і число . Добутком називається вектор, довжина якого дорівнює , а напрям збігається з напрямом, якщо >0 і протилежний , якщо <0.
2)Додавання векторів.
Припустимо, ми маємо два довільних вектори та . Тоді ці вектори можна додавати, використовуючи правило трикутника або правило паралелограма.
| |
Правило трикутника | Правило паралелограма |
Сумою (+) двох векторів і є такий вектор , напрямлений з початку вектора в кінець вектора за умови, що початок вектора збігається з кінцем вектора . | Сумою (+) двох векторів і є такий вектор , напрямлений з початку векторів і вздовж діагоналі паралелограма, сторони якого утворені з векторів і їх паралельним переносом за умови, що початки векторів та збігаються. |
3)Віднімання векторів
Віднімання векторі є діє обернена додаванню. Різницею векторів ( -) називають вектор , який потрібно додати до , щоб отримати . Віднімання векторів ( -) теж може здійснюватись за двома алгоритмами:
Правило віднімання 1 | Правило віднімання 2 |
Різницею (-) двох векторів і є такий вектор , напрямлений з кінця вектора в кінець вектора за умови, що початки векторів і збігаються. | Щоб знайти різницю векторів (-) потрібно дію віднімання розкласти на дві: множення на число та додавання: тобто (-)=(+(-)) |
Проекція вектора на вісь
Віссю називається напрямлена пряма. Напрям прямої позначають стрілкою. Заданий на осі напрям вважають додатним, а протилежний йому - від'ємним.
Проекцією точки А на вісь х називається основа А1 перпендикуляра А А1, опущеного з точки А на дану вісь. Таким чином проекція А1 є точкою перетину осі х з площиною, яка проходить через точку А, перпендикулярно до осі х.
Проекцією вектора на вісь ОХ називають відстань між проекцією початку А1 і проекцією кінця В1 вектора на задану вісь.
Проекція вважається додатною, якщо вектор і вісь напрямлені в одну сторону | Проекція вважається від'ємною, якщо вектор і вісь напрямлені в протилежні сторони |
Якщо вектор паралельний до осі або повністю лежить на осі, то довжина проекції вектора дорівнює довжині самого вектора | Якщо вектор перпендикулярний до осі, то його проекція на цю вісь дорівнює нулю |
Якщо відомий кут між вектором і віссю, то проекцію можна знайти як добуток довжини вектора на косинус кута між вектором і віссю:
Якщо вісь одна | Якщо є дві осі |
Властивість проекції векторів:
ØЯкщо деяка лінійна операція справедлива для векторів і (наприклад, сума ), то вона справедлива і для їх проекцій на довільну, але одну і ту ж, вісь (тобто, якщо , то для осі ОХ: ; для осі ОY: і т.д.)