История возникновения арифметической и геометрической прогрессий.

История возникновения арифметической и геометрической прогрессий.

Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и др.

Понятие числовой последовательности возникло и развивалось задолго до создания учения о функциях.

На связь между прогрессиями первым обратил внимание великий Архимед. (ок. 287 – 212 гг. до н.э.).


Термин «прогрессия» был введён римским автором Боэцием (в 6 веке) и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность. Название «арифметическая» и «геометрическая» были перенесены из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки.


Формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим учёным Диофантом (в 3 веке). Формула суммы членов геометрической прогрессии дана в книге Евклида «Начала» (в 3 веке до н.э.). Правило нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии впервые встречается в сочинении «Книга абака» в 1202г. (Леонардо Пизанский).


В XVIII веке в английских учебниках появились обозначения арифметической и геометрической прогрессии: арифметическая

геометрическая.


Сведения, связанные с прогрессиями, впервые встречаются в дошедших до нас документах Древней Греции. Уже в веке до н.э. греки знали следующие прогрессии и их суммы:





Задача из египетского папируса Ахмеса:

«Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками, разность же между каждым человеком и его соседом равна меры».

Формула которой пользовались египтяне:

яйце

Задача:

Индийский царь Шерам позвал к себе изобретателя шахматной игры, своего подданного Сету, чтобы наградить его за остроумную выдумку. Сета, издеваясь над царем потребовал за первую клетку шахматной доски 1 зерно, за вторую – 2 зерна, за третью – 4 зерна и т.д.. Обрадованный царь посмеялся над Сетой и приказал выдать ему такую «скромную» награду. Стоит ли царю смеяться?

Ответ: Если бы царю удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая моря, и океаны, и горы, и пустыню, и Арктику с Антарктикой, и получить удовлетворительный урожай, то, пожалуй, лет за 5 он смог бы рассчитаться с Сетом. Такое количество зерна пшеницы можно собрать лишь с площади в 2000раз большей поверхности Земли. Это превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до настоящего времени.

Задача из арифметики Магницкого.

Некто продал лошадь за 156 рублей. Но покупатель, обретя лошадь, раздумал и возвратил продавцу, говоря: «Нет мне расчёта покупать за эту цену лошадь, которая этих денег не стоит». Тогда продавец предложил другие условия: «Если по-твоему цена лошади высока, то купи её подковные гвозди , а лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне 1/4 коп., за вторую – ½ коп., за третью – 1 коп., и т.д.». Покупатель, соблазнённый низкой ценой, и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придётся уплатить не более 10 рублей.

Прогрессия в литературе.

Даже в литературе мы встречаемся с математическими понятиями. Так, вспомним строки из «Евгения Онегина». «… Не мог он ямба от хорея,

Как мы не бились отличить …».

Ямб - это стихотворный размер с ударением на чётных слогах 2, 4, 6, 8,…стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разность прогрессии 2.

Хорей - это стихотворный размер с ударением на нечётных слогах стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию 1, 3, 5, 7,…

Прогрессии в жизни и быту.

Для решения некоторых задач по физике, геометрии, биологии, химии, экономике, строительному делу используются формулы арифметической и геометрической прогрессий.

Интересные факты.

  1. Химия.

При повышении температуры по арифметической прогрессии скорость химических реакций растёт по геометрической прогрессии.

  1. Геометрия.

Вписанные друг в друга правильные треугольники образуют геометрическую прогрессию.

  1. Физика.

Нейтрон, ударяя по ядру урана, раскалывает его на две части. Получаются 2 нейтрона. Затем два нейтрона, ударяя по двум ядрам, раскалывает их ещё на 4части и т.д. - это геометрическая прогрессия.

  1. Биология.

Микроорганизмы размножаются делением пополам, поэтому при благоприятных условиях, через одинаковый промежуток времени их число удваивается.

  1. Экономика.

Вклады в банках увеличиваются по схемам сложных и простых процентов. Простые проценты – увеличение первоначального вклада в арифметической прогрессии, сложные проценты – увеличение в геометрической прогрессии.





Остання версія: 25 грудень 2019, середа, 13:29