История возникновения арифметической и геометрической прогрессий.
История возникновения арифметической и геометрической прогрессий.
Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и др.
Понятие числовой последовательности возникло и развивалось задолго до создания учения о функциях.
На связь между прогрессиями первым обратил внимание великий Архимед. (ок. 287 – 212 гг. до н.э.).
Термин «прогрессия» был введён римским автором Боэцием (в 6 веке) и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность. Название «арифметическая» и «геометрическая» были перенесены из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки.
Формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим учёным Диофантом (в 3 веке). Формула суммы членов геометрической прогрессии дана в книге Евклида «Начала» (в 3 веке до н.э.). Правило нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии впервые встречается в сочинении «Книга абака» в 1202г. (Леонардо Пизанский).
В XVIII веке в английских учебниках появились обозначения арифметической и геометрической прогрессии: арифметическая
геометрическая.
Сведения, связанные с прогрессиями, впервые встречаются в дошедших до нас документах Древней Греции. Уже в веке до н.э. греки знали следующие прогрессии и их суммы:
Задача из египетского папируса Ахмеса:
«Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками, разность же между каждым человеком и его соседом равна меры».
Формула которой пользовались египтяне:
Задача:
Индийский царь Шерам позвал к себе изобретателя шахматной игры, своего подданного Сету, чтобы наградить его за остроумную выдумку. Сета, издеваясь над царем потребовал за первую клетку шахматной доски 1 зерно, за вторую – 2 зерна, за третью – 4 зерна и т.д.. Обрадованный царь посмеялся над Сетой и приказал выдать ему такую «скромную» награду. Стоит ли царю смеяться?
Ответ: Если бы царю удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая моря, и океаны, и горы, и пустыню, и Арктику с Антарктикой, и получить удовлетворительный урожай, то, пожалуй, лет за 5 он смог бы рассчитаться с Сетом. Такое количество зерна пшеницы можно собрать лишь с площади в 2000раз большей поверхности Земли. Это превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до настоящего времени.
Задача из арифметики Магницкого.
Некто продал лошадь за 156 рублей. Но покупатель, обретя лошадь, раздумал и возвратил продавцу, говоря: «Нет мне расчёта покупать за эту цену лошадь, которая этих денег не стоит». Тогда продавец предложил другие условия: «Если по-твоему цена лошади высока, то купи её подковные гвозди , а лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне 1/4 коп., за вторую – ½ коп., за третью – 1 коп., и т.д.». Покупатель, соблазнённый низкой ценой, и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придётся уплатить не более 10 рублей.
Прогрессия в литературе.
Даже в литературе мы встречаемся с математическими понятиями. Так, вспомним строки из «Евгения Онегина». «… Не мог он ямба от хорея,
Как мы не бились отличить …».
Ямб - это стихотворный размер с ударением на чётных слогах 2, 4, 6, 8,…стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разность прогрессии 2.
Хорей - это стихотворный размер с ударением на нечётных слогах стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию 1, 3, 5, 7,…
Прогрессии в жизни и быту.
Для решения некоторых задач по физике, геометрии, биологии, химии, экономике, строительному делу используются формулы арифметической и геометрической прогрессий.
Интересные факты.
Химия.
При повышении температуры по арифметической прогрессии скорость химических реакций растёт по геометрической прогрессии.
Геометрия.
Вписанные друг в друга правильные треугольники образуют геометрическую прогрессию.
Физика.
Нейтрон, ударяя по ядру урана, раскалывает его на две части. Получаются 2 нейтрона. Затем два нейтрона, ударяя по двум ядрам, раскалывает их ещё на 4части и т.д. - это геометрическая прогрессия.
Биология.
Микроорганизмы размножаются делением пополам, поэтому при благоприятных условиях, через одинаковый промежуток времени их число удваивается.
Экономика.
Вклады в банках увеличиваются по схемам сложных и простых процентов. Простые проценты – увеличение первоначального вклада в арифметической прогрессии, сложные проценты – увеличение в геометрической прогрессии.