Термины по теме «Элементы алгебры логики»

Цель

Научиться давать определения терминов по теме "Элементы алгебры логики"

Задание

Дать 3 определения терминов по теме "Элементы алгебры логики"(смотреть здесь). Термины должны быть из разных категорий (Основные понятия, Логические операции, Законы алгебры логики, Исторические личности - всего по каким-либо 3 категориям). Для каждого определения выбирать категорию. На один и тот же термин можно давать разные (не повторяющиеся) определения. К определениям добавлять изображения или прикреплять файлы.

Оценивание

Каждое полное определение - 4 балла

Перегляд глосарію, використовуючи цей індекс.

Спеціальні | А | Б | В | Г | Ґ | Д | Е | Є | Ж | З | И | І | Ї | Й | К | Л | М | Н | О | П | Р | С | Т | У | Ф | Х | Ц | Ч | Ш | Щ | Ь | Ю | Я | ВСЕ

З

Закон двойного отрицания

Автор Щедрин Іван - 30 жовтень 2016, неділя, 14:30

положенный в основу классической логики принцип, согласно которому «если неверно, что неверно А, то А верно». Закон двойного отрицания называется также законом снятия двойного отрицания. В формализованном языке логики высказываний закон двойного отрицания выражается формулой

\neg (\neg A)\rightarrow A

Закон Идемпотентности

Автор Романов Владислав Володимирович - 1 листопад 2016, вівторок, 12:35

идемпотентности закон (от лат. idempotens - сохраняющий ту же степень) логический закон, позволяющий исключить повторение одного и того же высказывания. Его формулировка: повторение высказывания через "и" и "или" равносильно самому высказыванию. Напр., "Марс - планета и Марс - планета" есть то же самое, что "Марс - планета"; "Солнце - звезда или Солнце - звезда" то же самое, что "Солнце - звезда".

Без названия (2).jpg

Закон исключения констант

Автор Попов Артем Андреевич - 10 листопад 2016, четвер, 18:07

А\/1=1 А\/0=А

А&1=A A&0=0

Закон исключения третьего

Автор Орёл Варвара - 2 листопад 2016, середа, 21:17

Закон классической логики, состоящий в том, что из двух высказываний — «А» или «не А» — одно обязательно является истинным, то есть два суждения, одно из которых формулирует отрицание другого, не могут быть одновременно ложными.

Закон исключённого третьего

Автор Суханов Саня - 28 жовтень 2016, п'ятниця, 14:20

Закон исключённого третьего (лат. tertium non datur, то есть «третьего не дано») — закон классической логики, состоящий в том, что из двух высказываний — «А» или «не А» — одно обязательно является истинным, то есть два суждения, одно из которых формулирует отрицание другого, не могут быть одновременно ложными. Закон исключённого третьего является одним из основополагающих принципов «классической математики».

$a^{b}=\left({\sqrt {2}}^{{{\sqrt {2}}}}\right)^{{{\sqrt {2}}}}={\sqrt {2}}^{{\left({\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}}\right)}}={\sqrt {2}}^{2}=2,$

Закон контрапозиции

Автор Сухих Никита - 31 жовтень 2016, понеділок, 14:48

Зако́н контрапози́ции — закон классической логики, утверждающий, что в том случае, если некая посылка A влечёт некое следствие B, то отрицание этого следствия (то есть «не B») влечёт отрицание этой посылки (то есть «не A»).

Как и всякое общезначимое импликативное утверждение, может служить также и правилом вывода.

В виде формулы алгебры высказываний закон контрапозиции имеет вид

$( A \to B ) \to ( \neg B \to \neg A )$

Также являются тавтологиями следующие похожие формулы: {\displaystyle (\neg B\to \neg A)\to (A\to B)} $(\neg B\to\neg A)\to(A\to B)$ , {\displaystyle (A\to B)\leftrightarrow (\neg B\to \neg A)} $( A \to B )\leftrightarrow ( \neg B \to \neg A )$ . При подстановке вместо {\displaystyle A,B} $A,B$ произвольных формул также получаются тавтологии.

Закон контрапозиции доказуем в исчислении высказываний, но при этом формула {\displaystyle (\neg p\to \neg q)\to (q\to p)} $( \neg p \to \neg q ) \to ( q \to p )$ невыводима в интуиционистском исчислении высказываний, где p, q - пропозициональные переменные.

Закон непротиворечия

Автор Беляева Настя - 24 жовтень 2016, понеділок, 19:25

Закон непротиворечия — закон логики, который гласит, что два несовместимых (противоречащих) суждения не могут быть одновременно истинными. По крайней мере, одно из них ложно^[1].

Математическая запись:

P\wedge \neg P=0,

где:

«{\displaystyle \wedge } $\wedge$ » — знак конъюнкции (И);
«{\displaystyle \neg } $\neg$ » — знак отрицания.

Закон непротиворечия

Автор Наумов Нікіта - 30 жовтень 2016, неділя, 14:17

Закон непротиворечия (закон противоречия) — закон логики, который гласит, что два несовместимых (противоречащих) суждения не могут быть одновременно истинными. По крайней мере, одно из них ложно.

Закон непротиворечия

Автор Яшин Коля - 2 листопад 2016, середа, 18:13

Закон общей инверсии(законы де Моргана)

Автор Синишин Богдан - 31 жовтень 2016, понеділок, 19:55

Закон двойного отрицания (двойное отрицание исключает отрицание):
А = .

Переместительный (коммутативный) закон:

для логического сложения: А Ú B = B Ú A;
для логического умножения: A & B = B & A.

Результат операции над высказываниями не зависит от того, в каком порядке берутся эти высказывания.

Сочетательный (ассоциативный) закон:

для логического сложения: (А Ú B) Ú C = A Ú (B Ú C);
для логического умножения: (A & B) & C = A & (B & C).

При одинаковых знаках скобки можно ставить произвольно или вообще опускать.

Распределительный (дистрибутивный) закон:

для логического сложения: (А Ú B) & C = (A & C) Ú (B & C);
для логического умножения: (A & B) Ú C = (A Ú C) & (B Ú C).

Закон определяет правило выноса общего высказывания за скобку.

Закон общей инверсии (законы де Моргана):

для логического сложения: = &;
для логического умножения: = Ú

Закон идемпотентности (от латинских слов idem — тот же самый и potens — сильный; дословно — равносильный):

для логического сложения: А Ú A = A;
для логического умножения: A & A = A .

Закон означает отсутствие показателей степени.

Законы исключения констант:

для логического сложения: А Ú 1 = 1, А Ú 0 = A;
для логического умножения: A & 1 = A, A & 0 = 0.

Закон противоречия:

A & = 0.

Невозможно, чтобы противоречащие высказывания были одновременно истинными.

Закон исключения третьего:

A Ú = 1.

Из двух противоречащих высказываний об одном и том же предмете одно всегда истинно, а второе — ложно, третьего не дано.

Закон поглощения:

для логического сложения: А Ú (A & B) = A;
для логического умножения: A & (A Ú B) = A.

Знание законов логики позволяет проверять правильность рассуждений и доказательств. Основываясь на законах, можно выполнять упрощение сложных логических выражений. Такой процесс замены сложной логической функции более простой, но равносильной ей, называется минимизацией функции.

Некоторые преобразования логических формул похожи на преобразования формул в обычной алгебре (вынесение общего множителя за скобки, использование переместительного и сочетательного законов и т.п.), другие - основаны на свойствах, которыми не обладают операции обычной алгебры (использование распределительного закона для конъюнкции, законов поглощения, склеивания, де Моргана и др.).

Нарушения законов логики приводят к логическим ошибкам и вытекающим из них противоречиям.

Упрощение формул.

Пример 1. Упростить формулу (А Ú В) & (А Ú С).

Решение:

Раскроем скобки: (А Ú В) & (А Ú С) = A & A Ú A & C Ú B & A Ú B & C;

По закону идемпотентности A & A =A, следовательно,
A & A Ú A & C Ú B & A Ú B & C = A Ú A & C Ú B & A Ú B & C;

В высказываниях А и А & C вынесем за скобки А и используя свойство А + 1= 1, получим
A Ú A & C Ú B & A Ú B & C = A & (1 Ú C) Ú B & A Ú B & C = A Ú B & A Ú B & C;

Аналогично предыдущему пункту вынесем за скобки высказывание А.
A Ú B & A Ú B & C = A & (1 Ú B) Ú B & C = A Ú B & C.

Таким образом, мы доказали закон дистрибутивности.

Всякую формулу можно преобразовать так, что в ней не будет отрицаний сложных высказываний - все отрицания будут применяться только к простым высказываниям.

Пример 2. Упростить выражения так, чтобы в полученных формулах не содержалось отрицания сложных высказываний.

Решение: