Теорема

Теорема Виета. Пусть приведенное квадратное уравнение вида x² + bx + c = 0(коэффициент a = 1) имеет действительные корни x₁ и x₂. Тогда:

1. x₁ + x₂ = −b — сумма корней равна коэффициенту при переменной x, взятому с противоположным знаком;

2. x₁ · x₂ = c — произведение корней равно свободному коэффициенту.

Следствие 1

Если в приведенном квадратном уравнении вида x² + bx + c = 0 коэффициент c > 0,то корни x₁ и x₂ имеют одинаковый знак. И наоборот, если коэффициент c < 0, корниx₁ и x₂ будут разных знаков.

Следствие 2

Если в том же уравнении x₁ + x₂ = −b > 0 (т.е. сумма корней положительна), то возможны 2 варианта: либо оба корня положительны, либо модуль положительного корня больше модуля отрицательного.

И наоборот, если x₁ + x₂ = −b < 0 (т.е. сумма корней отрицательна), то опять же есть 2 варианта: либо все корни отрицательны, либо модуль положительного корня меньше модуля отрицательного.

Пример

1. x² − 13x + 22 = 0. По теореме Виета имеем:
x₁ · x₂ = 22 > 0 — корни одного знака, поскольку их произведение положительно;
x₁ + x₂ = −(−13) = 13 > 0 — оба корня положительны, поскольку их сумма положительна;

2. x² + 12x + 35 = 0. По теореме Виета имеем:
x₁ · x₂ = 35 > 0 — корни одного знака, поскольку их произведение положительно;
x₁ + x₂ = − 12 < 0 — оба корня отрицательны, поскольку их сумма отрицательна;

3. x² − 5x − 24 = 0. По теореме Виета имеем:
x₁ · x₂ = −24 < 0 — корни разных знаков, поскольку их произведение отрицательно;
x₁ + x₂ = −(−5)= 5 > 0 — модуль положительного корня больше модуля отрицательного, поскольку сумма корней положительна;

4. x² + 4x − 5 = 0. По теореме Виета имеем:
x₁ · x₂ = −5 < 0 — корни разных знаков, поскольку их произведение отрицательно;
x₁ + x₂ = −4 < 0 — отрицательный корень по модулю больше положительного, поскольку их сумма отрицательна.

Как применять эти факты на практике? Тем, кто только начинает работать по теореме Виета, подобная информация окажется бесполезной и даже избыточной. Но после некоторой практики вы сами начнете замечать, что эти следствия иногда значительно упрощают жизнь и помогают еще точнее «угадывать» корни квадратного уравнения.

Задача

Решите квадратные уравнения:

1. x² − 9x + 14 = 0;

2. x² + 8x − 15 = 0;

3. x² − 3x − 4 = 0;

4. x² + 3x + 40 = 0.

Решение

1. x² − 9x + 14 = 0 ⇒ по теореме Виета: x₁ + x₂ = −(−9) = 9; x₁ · x₂ = 14. Из второго следует, что корни одного знака. А поскольку их сумма положительна, оба корня положительны. Очевидно, это числа 2 и 7;

2. x² + 8x + 15 = 0 ⇒ по теореме Виета: x₁ + x₂ = −8; x₁ · x₂ = 15. Поскольку 15 > 0, корни снова одного знака. Но поскольку их сумма отрицательна, то все они отрицательны. Например, это числа −3 и −5;

3. x² − 3x − 4 = 0 ⇒ по теореме Виета: x₁ + x₂ = −(−3) = 3; x₁ · x₂ = −4. Итак, произведение отрицательно, поэтому корни разных знаков. Но сумма корней положительна, т.е. модуль положительного корня больше модуля отрицательного. Получаем корни: 4 и −1;

4. x² + 3x − 40 = 0 ⇒ по теореме Виета: x₁ + x₂ = −3 = 3; x₁ · x₂ = −40.Произведение отрицательно — корни разных знаков. Сумма тоже отрицательна — модуль отрицательного корня больше модуля положительного. Корни: 5 и −8.

Ответ

1. x₁ = 2 x₂ = 7;

2. x₁ = −3 x₂ = −5;

3. x₁ = 4 x₂ = −1;

4. x₁ = 5 x₂ = −8.

В дополнение рассмотрим хорошее правило, которое поможет избежать путаницы:

Решая квадратные уравнения, думайте в первую очередь о знаках корней, а не коэффициентов!

Например, x² + x − 2 = 0 ⇒ по теореме Виета: x₁ · x₂ = −2 — произведение корней отрицательно. Кроме того, x₁ + x₂ = −1 — сумма корней тоже отрицательна. Корни:x₁ = 1; x₂ = −2.

Заметьте: нигде не упоминается слово «коэффициент». В приведенных выше задачах — тоже. Поэтому еще раз повторяю: думайте о корнях квадратного уравнения, а не о коэффициентах.