Сложные квадратные уравнения

Например, попробуйте
решить уравнение: x2 + 27x − 3240 = 0. Корни
у него будут вполне нормальными, вот только
дискриминант равен D = 272 − 4 · 1 · (−3240) =
13689.Ну и какое число надо возвести в квадрат, чтобы
получить 13689? С помощью калькулятора все просто: 13689 =
1172. Но как догадаться об этом на экзамене
или контрольной работе?

Теорема Виета помогает
решать даже такие уравнения. Без всяких корней из пятизначных
чисел — схема работы остается прежней. В результате экономится
фантастически много времени, ведь многие километровые уравнения
оказываются почти устными!

Чтобы почувствовать всю
силу теоремы Виета, взгляните на приведенные ниже задачи. Для сравнения
попробуйте решить их по старинке, через дискриминант. Разницу
почувствуете сразу же.

Задача

Из пункта А в пункт В, расстояние между
которыми 30 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист.
За час автомобилист проезжает на 55 км больше,
чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно,
что он прибылв пункт В на 1 час
6 минут позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

Решение

Это текстовая задача. Пусть скорость велосипедиста равна x, тогда скорость
автомобилиста равна x + 55. Расстояние одно
и то же — 30 км, поэтому задача сводится
к дробно-рациональному уравнению:

Эта конструкция сводится
к простому квадратному уравнению: x2 + 55x − 1500 =
0.Как видим, коэффициенты получились весьма неслабыми.

Решаем по теореме
Виета: x1 + x2 = −55; x1 · x2 = −1500. Произведение
корней отрицательно, значит корни разных знаков. Сумма корней тоже
отрицательна, значит отрицательный корень по модулю больше положительного.
Несложно угадать эти числа: −75 и 20.

По условию задачи, x — это скорость велосипедиста,
а скорость не может быть отрицательной. Поэтому нас интересует лишь
число 20.

Ответ

20

Задача

Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени
(в минутах) для нагревательного элемента некоторого прибора была
получении экспериментально и на исследуемом интервале температур
дается выражением T(t) = T0 + at + bt2, гдеT0 = 800 K, a = 52 К/мин, b = −0,4 К/мин. Известно,
что при температурах нагревателя свыше 2000 К прибор может
испортиться, поэтому его надо отключать. Определите (в минутах), через
какое наибольшее время после начала работы надо отключать прибор.

Решение

Снова текстовая задача. Правда, в этот раз формула нам уже дана.
Подставляем числа — получаем квадратное уравнение: 2000 = −0,4t2 + 52t + 800. Решаем
это уравнение:

2000 = −0,4t2 + 52t + 800 ⇒ 2000 + 0,4t2 − 52t − 800 = 0 ⇒ 0,4t2 − 52t + 1200 = 0 ⇒t2 − 130t + 3000 = 0.

Получили приведенное
квадратное уравнение. По теореме Виета имеем:t1 + t2 =
−(−130) = 130; t1 · t2 = 3000. Из произведения
следует, что корни одного знака. А поскольку их сумма
положительна, то оба корня положительны. Если внимательно посмотреть
на уравнение, то корни буквально «напрашиваются»: t1 = 30; t2 = 100.

Итак, температура пересечет 2000−градуснуют отметку через
30 минут и через 100 минут. Очевидно, прибор надо выключить
в 30 минут, иначе до 100 минут он просто
«не доживет».

Ответ

30

Задача

Для одного из предприятий−монополистов зависимость объема спроса на
продукцию q(единиц в месяц) от ее цены p (тыс. руб.)
задается формулой: q = 75 − 5p. Определите максимальный уровень цены p (в тыс. руб.),
при котором значение выручки предприятия за месяц r = q · p составит
не менее 270 тыс. руб.

Решение

Подставляем значения переменных q = 75 − 5p и r = 270 в формулу r = q · p. Получаем
уравнение:

270 = p(75 − 5p) ⇒ 270 = 75p − 5p2 ⇒ 5p2 − 75p + 270 = 0 ⇒ p2 − 15p + 54 = 0;

В результате несложных
преобразований получили приведенное квадратное уравнение. Используем теорему
Виета: p1 + p2 = −(−15) = 15; p1 · p2 = 54. Произведение
положительно — корни одного знака. Сумма положительна — значит, оба
корня положительны. А именно: p1 = 6; p2 = 9.

Поскольку в задаче требуют определить максимальный уровень, выбираем
число 9.

Ответ

9