Сложные квадратные уравнения

Например, попробуйте решить уравнение: x² + 27x − 3240 = =3D 0. Корни у него будут вполне нормальными, вот т= олько дискриминант равен D =3D 27² − 4 · 1 · (−3240) =3D 13689.Ну и какое число надо возвести в квадрат, чтобы получить 13689? С помощью калькулятора все просто: 1368= 9 =3D 117². Но как догадаться об этом на экзамене или контрольной работе?

Теорема Виета помога= ет решать даже такие уравнения. Без всяких корней из пятизначных чисел — схема работы остается прежней. В результате экономится фантастически много времени, ведь многие километровые уравнения оказываются почти устными!

Чтобы почувствовать = всю силу теоремы Виета, взгляните на приведенные ниже задачи. Для сра= внения попробуйте решить их по старинке, через дискриминант. Разницу почувствуете сразу же.

Задача

Из пункта А в пунк= т В, расстояние между которыми 30 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. За час автомобилист проезжает на 55 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибылв пункт В на 1 час 6 минут позже автомобилиста. Ответ дайте в км= /ч.

Решение

Это текстовая задача. Пусть скорость велосипедиста равна x, тогда скорость автомобилиста равна x + 55. Расстояние одно и то же — 30 км, поэтому задача сводится к дробно-рациональному уравнению:

Эта конструкция свод= ится к простому квадратному уравнению: x² + 55x − 1500 = =3D 0.Как видим, коэффициенты получились весьма неслабыми.

Решаем по теоре= ме Виета: x₁ + x₂ =3D −55; x₁ · x₂ =3D −150= 0. Произведение корней отрицательно, значит корни разных знаков. Сумма корней тоже отрицательна, значит отрицательный корень по модулю больше положительного. Несложно угадать эти числа: −75 и 20.

По условию задачи, x — это скорость велосипедиста, а скорость не может быть отрицательной. Поэтому нас интересует ли= шь число 20.

Ответ

20=

Задача

Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени (в минутах) для нагревательного элемента некоторого прибора была получении экспериментально и на исследуемом интервале температур дается выражением T(t) =3D T₀ + at= + = bt², где= T₀ =3D 800 K,&nbs= p;a =3D 52 К/мин, b =3D −0,4 К/мин. Извес= тно, что при температурах нагревателя свыше 2000 К прибор мо= жет испортиться, поэтому его надо отключать. Определите (в минутах), через какое наибольшее время после начала работы надо отключать прибор.

Решение

Снова текстовая задача. Правда, в этот раз формула нам уже да= на. Подставляем числа — получаем квадратное уравнение: 2000 =3D ͨ= 2;0,4t² + 52= t + 800. Ре= шаем это уравнение:

2000 =3D −0,4<= /span>t² + 52= t + 800 <= span style=3D'font-size:12.0pt;font-family:"Cambria Math","serif";mso-fareast-fo= nt-family: "Times New Roman";mso-bidi-font-family:"Cambria Math";color:black;mso-farea= st-language: RU'>⇒ 2000 + 0,4t² − 52t − 800 =3D 0 ⇒ 0,4<= span style=3D'font-size:13.5pt;font-family:"Times New Roman","serif";mso-fareast= -font-family: "Times New Roman";color:black;mso-fareast-language:RU'>t² − 52t + 1200 =3D 0 <= /span>⇒t² − 130t + 3000 =3D 0.

Получили приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета имеем:t₁ + = t₂ =3D −(−130) =3D 130; t₁ · t₂ =3D 3000. = ;Из произведения следует, что корни одного знака. А поскольку их сумма положительна, то оба корня положительны. Если внимательно посмотреть на уравнение, то корни буквально «напрашиваются»: = t₁ =3D 30; <= /span>t₂ =3D 100.<= /o:p>

Итак, температура пересечет 2000−градуснуют отметку через 30 минут и через 100 минут. Очевидно, прибор надо выключить в 30 минут, иначе до 100 минут он просто «не доживет».

Ответ

30=

Задача

Для одного из предприятий−монополистов зависимость объема спроса&= nbsp;на продукцию q(единиц в месяц) от ее цены p (тыс. руб= .) задается формулой: q =3D 75 − 5p. Определите максимальный уровень= цены p (в тыс.&n= bsp;руб.), при котором значение выручки предприятия за месяц = r =3D q · = p составит не менее 270 тыс. руб.

Решение

Подставляем значения переменных q =3D 75 − 5p и = r =3D 270 в= формулу r =3D q · = p. Получаем уравнение:

270 =3D = p(75 − 5= p) ⇒ 270 =3D 75p − 5p² ⇒ 5p² − 75p + 270 =3D 0 ⇒ p² − 15p + 54 =3D 0;

В результате несложн= ых преобразований получили приведенное квадратное уравнение. Используем теорему Виета: p₁ + p₂ =3D −(−15) =3D 15; p₁ · = p₂ =3D 54. П= роизведение положительно — корни одного знака. Сумма положительна — значит, о= ба корня положительны. А именно: p₁ =3D 6; p₂ =3D 9.

Поскольку в задаче требуют определить максимальный уровень, выбира= ем число 9.

Ответ

9